Tema 8: Distribuciones Unidimensionales y Distribuciones Bidimensionales. Consideraciones iniciales:


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1 Tema 8: Distribuciones Unidimensionales y Distribuciones Bidimensionales. Consideraciones iniciales: - Población: Es el conjunto de todos los elementos que cumplen una determinada característica. Ej.: Alumnos del colegio. - Individuo: Cada uno de los elementos de la población. - Muestra: A cualquier subconjunto de la población. Ej.: Alumnos de una clase del colegio. - Tamaño: Número de elementos de la muestra. - Carácter estadístico: A la propiedad que permite clasificar a los individuos de una población. - Tipos de carácter estadístico: - Caracteres cualitativos: aquellos que no se pueden medir. Las distintas opciones que pueden tomar se llaman modalidades. Ej.: Nombres alumnos: Ana, Laura, José, ; Asignaturas que cursan: Mates, Lengua, - Caracteres cuantitativos: aquellos que se pueden medir. El conjunto de todos los valores que puede tomar se llama variable estadística. Ej.: Nº hermanos:0,1,2, Edad:15,16,, Altura: 1,51, 1,54, 1,623, 1,65, - Tipos de variables estadísticas: Discretas: Cuando puede tomar un número finito de valores o infinito numerable. Ej.: Nº hermanos, Edad, Continuas: Cuando puede tomar cualquier valor en un intervalo de la recta real. Ej.: Altura, 8.1 Distribución de frecuencias. Variables Cualitativas: - Frecuencia Absoluta (f i ): Es el número de veces que aparece cada modalidad: f 1, f 2,,f r, con r modalidades. Son números no negativos y su suma será igual a N. - Frecuencia Relativa (h i ): Es la proporción de datos en cada modalidad, y será Son números no negativos y su suma será igual a 1. Se puede expresar en %, multiplicando por 100 cada frecuencia relativa, siendo su suma igual a Distribución de frecuencias: Es la tabla construida con las modalidades y sus frecuencias. - Representación Gráfica: Se puede representar en diagrama de barras o en diagrama de sectores. Ejemplo: En un centro los alumnos han dado a conocer sus preferencias a la hora de practicar un deporte. Las modalidades ofrecidas han sido: futbol, baloncesto, yudo, gimnasia, voleibol y balonmano. Variables Cuantitativas Discretas: - Distribución de Frecuencias Acumuladas: Como los distintos valores que toma la variable se pueden ordenar, sumaremos sucesivamente las frecuencias, tanto absolutas como relativas, y los añadiremos a la tabla anterior. - Frecuencias Absolutas Acumuladas (F i ): Suma sucesiva de las Frecuencias Absolutas. - Frecuencias Relativas Acumuladas (H i ): Suma sucesiva de las Frecuencias Relativas. - Representación Gráfica: Se suelen representar en diagrama de barras.

2 Ejemplo: Se ha preguntado en una clase por el número de hermanos que tienen. Ejercicio 1: El número de centros de salud en 20 ciudades es: 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7 Construye la tabla de distribución de frecuencias de estos datos Variables Cuantitativas Continuas: - Distribución de Frecuencias: Se agrupan en clases (intervalos que no se solapan). El punto medio de cada clase es la marca de clase. Se construye la tabla con estos valores. - Representación Gráfica: Se suelen representar mediante histogramas. Ejemplo: El tiempo en segundos que tardan en conectarse a una página web, unos usuarios, en un día, es: Ejercicio 2: La altura, en centímetros, de 20 personas es: 165, 171, 154, 165, 149, 159, 151, 171, 191, 163, 173, 193, 176, 152, 188, 169, 171, 184, 152, 183. Construye una tabla de distribución de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de amplitud 10, comenzando el primer intervalo en 140 cm. 8.2 Medidas de centralización Son los parámetros que indican el valor hacia el que tienden a situarse los datos de la distribución. - Media aritmética ( ): Es el cociente entre la suma de todos los valores de la variable estadística y el número de éstos. Si la variable x se encuentra agrupada en clases, se toman como valores x 1, x 2,,x n las marcas de clase. - Moda ( Mo ): Es el valor de la variable que presenta mayor frecuencia absoluta. Si los datos se encuentran agrupados en clases, se toma como valor aproximado de la moda, la marca de clase de la clase modal. Puede haber más de una moda. Si tiene una es unimodal, si tiene dos, bimodal, tres, trimodal, etc - Mediana ( M ): Es el valor de la variable tal que, el número de observaciones menores que él es igual al número de observaciones mayores que él. Depende del orden de los datos y no del valor de éstos. Si los datos son impares, la mediana es el valor central. Si los datos son pares, la mediana es la media de los valores centrales. Lo realizaremos de la siguiente manera: Dividiremos el número de datos entre dos ( ) Si Si es decimal (N es impar): es entero (N es par): - Si aparece en las F i - Si no aparece en las F i

3 Ejemplo: El número de hermanos de alumnos son cero 4, uno 14, dos 7, tres 5, cuatro 3, cinco 1. Halla la media, la mediana y la moda. M o = 1 hermano M = hermanos Ejemplo: Tiempo en segundos que tardan en conectarse a una página web. Halla la media, la mediana y la moda. M o = 75 segundos M = 75 segundos Ejercicio 4: Calcula la media, la mediana y la moda de: Ejercicio 5: La tabla adjunta muestra las medidas en centímetros de unos bastones de esquí: a) Halla la media aritmética, la moda y la mediana. b) Representa el histograma frecuencias absolutas y el polígono de frecuencias. 8.3 Medidas de Dispersión Medidas de Dispersión: A veces las medidas de centralización no son suficiente para describir un conjunto de datos, conviene utilizar otros valores que reflejen la dispersión de los datos alrededor de la media. - Rango o Recorrido (R): Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística. Depende sólo de los extremos. - Varianza (s 2 : Es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. - Desviación Típica (s): Raíz cuadrada positiva de la varianza. Para que tenga las mismas unidades que los datos. Cuanto menor es la s 2 o la s, mayor es el grado de representatividad de los valores centrales. Ejemplo: Estatura 35 alumnos clase: (150,155)-1, (155,160)-11, (160,165)-13, (165,170)-8, ( )-2 Calcula el rango, la varianza y la desviación típica. Rango = 172,5 152,5 = 20 cm S 2 = S=

4 Ejercicio 6: La edad de 100 personas tiene la siguiente distribución de frecuencias: Completa la tabla y calcula: a) el recorrido b) la varianza c) la desviación típica Ejercicio 7: a) Completa los datos que faltan en la tabla adjunta. b) Halla la media, la moda y la mediana. c) Halla el rango, la varianza y la desviación media. Ejercicio 8: Un dentista observa el número de caries de cada uno de los 100 alumnos de un colegio. La información resumida aparece en la siguiente tabla: a) Completa la tabla obteniendo los valores x, y, z. b) Calcula el número medio de caries. c) Calcula la Mediana d) Calcula la desviación típica. 8.4 Variables Bidimensionales. Distribuciones Bidimensionales. Es el resultado del estudio de dos características cuantitativas X e Y en los individuos de una población. A cada individuo le corresponden dos variables. X: es una variable estadística unidimensional que toma los valores Y: es una variable estadística unidimensional que toma los valores (X,Y): es una variable estadística bidimensional que toma los valores ( Ej.: (Notas de Mates y de Historia de la clase), (Peso y altura alumnos), (Altura y número de pie) 8.5 Correlación Se llama correlación a la relación o dependencia que existe entre las dos variables de la distribución bidimensional. - Correlación lineal o curvilínea: La nube de puntos se condensa en torno a una línea recta o una curva. - Variables Incorreladas: los puntos del diagrama estarán esparcidos al azar, sin tender a formar ninguna línea. Las variables no estarán relacionadas, serán independientes. - Correlación positiva o directa: Cuando crece una variable la otra también crece. - Correlación negativa o inversa: Cuando crece una variable la otra decrece. - Correlación nula: Cuando no existe relación. Variables incorreladas. - Correlación funcional: Si existe una función que satisface todos los valores de la distribución. - Correlación fuerte: Cuando los valores van tendiendo en grado mayor hacia una función. - Correlación débil: Cuando los valores van tendiendo en grado menor hacia una función.

5 8.6 Parámetros Bidimensionales Covarianza (S xy ): La covarianza de una variable bidimensional (x, y) es la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada variable respecto de su media. También es llamada varianza conjunta. El valor indica cómo se apartan a la vez las dos coordenadas de un dato respecto de la media: Valor próximo a cero: No hay relación entre ambas variables. Valor positivo: Ambas variables se apartan en el mismo sentido de sus respectivas medias. Valor negativo: Ambas variables se apartan en el sentido contrario de sus respectivas medias. para hallarla nos hará falta añadir a la tabla la columna: Coeficiente de correlación lineal o de Pearson (r): Es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de X e Y. Sirve para medir el grado de relación lineal entre las dos variables. El valor de r estará comprendido entre -1 y 1. El signo del coeficiente r viene dado por el signo de la covarianza, ya que las desviaciones típicas son positivas: Covarianza nula: No hay correlación entre ambas variables. Cuanto más próximo a cero, menor relación entre ambas variables. Covarianza positiva: Correlación directa. Cuanto más próximo a 1 mayor dependencia funcional lineal directa o positiva. Covarianza negativa: Correlación inversa. Cuanto más próximo a -1 mayor dependencia funcional lineal inversa o negativa. r = 1 r 0 r=-1 Ejemplo donde aparece f i : Se han observado dos variables conjuntas en 50 individuos. a) Obtén la covarianza b) Calcula el coeficiente de correlación lineal.

6 Ejemplo donde no aparece f i : Calcula la media y la varianza de la X y de la Y, la covarianza y el coeficiente de correlación lineal. O también podríamos hacerlo así: Ejercicio 9: En la siguiente tabla se recoge la evolución del IPC y el precio del barril de petróleo durante el segundo semestre de Halla la covarianza y el coeficiente de correlación e interprétalo. Se puede asegurar que la evolución del IPC está directamente relacionada con el precio del petróleo? Ejercicio 10: Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedican diariamente a dormir y a ver la televisión. Calcule la covarianza y el coeficiente de correlación e interprételo:

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