ESTADÍSTICA SEMANA 3


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1 ESTADÍSTICA SEMANA 3

2 ÍNDICE MEDIDAS DESCRIPTIVAS... 3 APRENDIZAJES ESPERADOS... 3 DEFINICIÓN MEDIDA DESCRIPTIVA... 3 MEDIDAS DE POSICIÓN... 3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL... 4 MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO... 4 FÓRMULA PARA DATOS NO AGRUPADOS... 4 FÓRMULA PARA DATOS AGRUPADOS O TABULADOS... 5 LA MODA... 6 EJEMPLO DATOS NO AGRUPADOS... 6 CÁLCULO MODA PARA DATOS AGRUPADOS O TABULADOS... 7 LA MEDIANA FÓRMULA PARA DATOS NO AGRUPADOS FÓRMULA PARA DATOS AGRUPADOS LA MEDIA GEOMÉTRICA FÓRMULA PARA DATOS NO AGRUPADOS FÓRMULA PARA DATOS AGRUPADOS LA MEDIA ARMÓNICA ASIMETRÍA CURTOSIS COMENTARIO FINAL REFERENCIAS

3 MEDIDAS DESCRIPTIVAS APRENDIZAJES ESPERADOS El objetivo de este tema es conocer y aplicar los conceptos relacionados con las diferentes medidas descriptivas de posición y la aplicación e interpretación para datos no agrupados y para datos agrupados. DEFINICIÓN MEDIDA DESCRIPTIVA Sean X 1, X 2,, X n, n observaciones de una variable X. Se dirá que g es una medida descriptiva si g es una función de las observaciones (X 1, X 2,, X n ) (Pagano, 2011). Ejemplos: MEDIDAS DE POSICIÓN Las medidas de posición son el resultado de una observación o una función de las observaciones y tiene como objetivo mostrar el comportamiento de la variable de acuerdo a lo observado en ella. Las más conocidas y utilizadas, son las medidas de tendencia central y los percentiles (Pagano, 2011). 3

4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Tienen como objetivo determinar dónde se concentran los datos (cuál es el centro de un histograma de frecuencias absolutas o frecuencias relativas). Entre las medidas de tendencia central que se presentarán están: la media aritmética, la moda, la mediana y los percentiles. Antes de comenzar es importante considerar la diferencia entre dos conceptos: datos agrupados o tabulados y datos no agrupados. MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO La medida de posición más usada es el promedio, que se define como una medida central que relaciona el valor de una variable con su frecuencia relativa de presentación. Corresponde a la media aritmética y se calcula de la siguiente forma, en el caso en que se presenten los datos no agrupados: FÓRMULA PARA DATOS NO AGRUPADOS Ejemplo: Considérese una muestra de 20 alumnos de una universidad. Cuál será el promedio (media aritmética) de sus edades?: Claramente los datos están no agrupados, pues no se encuentran en una tabla de distribución de frecuencias Solución: Por lo tanto el promedio de edad es de 20,4 años. 4

5 FÓRMULA PARA DATOS AGRUPADOS O TABULADOS En el caso de que los datos presentados para el análisis se encuentren en una tabla de frecuencias con m clases, el valor de la media aritmética (promedio) es: Donde m es el número de clases, X i es la marca de clase, n i es la frecuencia absoluta, f i es la frecuencia relativa y n es el número de observaciones Ejemplo 1: Considérese la muestra de las estaturas (en centímetros) de 20 alumnos de la universidad, pero agrupados en una tabla como se muestra a continuación: Por lo tanto el promedio de estaturas es de 174,3 centímetros Ejemplo 2: Considérese la muestra de los ingresos (en miles de $) de 26 obreros de una empresa, agrupados en la siguiente tabla de distribución de frecuencias: 5

6 Por lo tanto, el promedio de ingresos es aproximadamente $ LA MODA Esta se define como el valor observado con mayor frecuencia. Además, puede existir más de un valor con igual número de frecuencia, por lo tanto, se tendría una distribución con varias modas (Pagano, 2011). A continuación se revisarán las fórmulas para los casos donde los datos se encuentran no agrupados y para datos agrupados. EJEMPLO DATOS NO AGRUPADOS No tiene fórmula, pues solo se debe identificar el valor que más se repite dentro de una distribución. Ejemplo: Considérese la siguiente muestra correspondiente al número de hijos de 24 mujeres. 6

7 CÁLCULO MODA PARA DATOS AGRUPADOS O TABULADOS Para calcular la moda en datos agrupados, es decir cuando los datos están presentados en tablas de frecuencias, primero se debe ubicar el tramo o intervalo donde se encuentra la clase con mayor frecuencia absoluta y se utiliza la siguiente fórmula para identificar una aproximación de la moda: Donde: Ejemplo 1: Considérese la muestra de las edades de 20 alumnos de la universidad, pero agrupados en una tabla como se muestra a continuación: Si se reemplazan los valores de la fórmula de la moda. 7

8 Como resultado del ejercicio, se puede concluir que la edad que más se repite según la fórmula utilizada es de 19,5 años. Ejemplo 2: Considérese la muestra de las estaturas (en centímetros) de un grupo de 24 alumnos de una universidad: Antes de reemplazar los valores, si se observa la tabla, se aprecia que existen dos clases que poseen la mayor frecuencia absoluta. Por lo tanto, se puede inferir que en esta distribución existen dos modas. Si se reemplazan los valores de la fórmula de la moda: 8

9 Finalmente las modas son: Por lo tanto las alturas que más se repiten en esta distribución son: 165,3 cm y 172 cm. Otros ejemplos de cálculo de la moda: Los siguientes datos corresponden a los ingresos en miles de pesos de los empleados de una oficina: 9

10 Soluciones a) b) LA MEDIANA En un conjunto de observaciones ordenadas de menor a mayor, es una observación que divide a la muestra o la población en dos partes iguales y las agrupa en 50% menor a esa observación y un 50% mayor a esa observación. Es decir: Si X 1, X 2,, X n es una muestra entonces se define a X (1), X (2), X (n) la muestra ordenada de menor a mayor (X (1) sería el mínimo y X (n) sería el máximo) (Pagano, 2011). FÓRMULA PARA DATOS NO AGRUPADOS Para aplicar esta fórmula, primero se tiene que verificar si el total de casos n de la muestra es par o impar. 10

11 i) Si n es impar, entonces: ii) Si n es par, entonces: Ejemplo 1: Dados los siguientes datos correspondientes al número de hijos de 19 familias: º se ordenan los datos en forma ascendente, estos quedan: º se tiene un número impar de observaciones n = 19. Una vez aplicada la fórmula, se indicará en qué ubicación se encuentra la medida, con los datos previamente ordenados de menor a mayor. En el caso del ejemplo corresponde a la 10ª posición. Ejemplo 2: Los siguientes datos corresponden a las edades de 18 personas elegidas al azar: º se ordenan los datos en forma ascendente, estos quedan: º se tiene un número par de observaciones n =

12 FÓRMULA PARA DATOS AGRUPADOS Ejemplo 1: Los siguientes datos (agrupados) corresponden a los pesos en kg. de un grupo de jóvenes estudiantes de Administración de empresas, de IACC. 12

13 Se calcula la mediana, entonces: Ejemplo 2: Considérense los siguientes datos correspondientes a los tiempos de espera en la fila de un banco, de 40 clientes. 13

14 LA MEDIA GEOMÉTRICA La media geométrica (Mg) se usa especialmente en los casos en que existe una tasa de crecimiento relativamente constante (población, montos medios de capitales sujetos a interés compuesto, entre otros; o simplemente cuando se desea un porcentaje medio de crecimiento o de baja, según corresponda). También se utiliza de preferencia cuando conviene dar importancia a los valores pequeños. Otro uso de la media geométrica es la determinación del valor medio en un conjunto de porcentajes de variación mensual (Pagano, 2011). FÓRMULA PARA DATOS NO AGRUPADOS FÓRMULA PARA DATOS AGRUPADOS Ejemplo 1: Considérese el cuadro anterior de distribución, correspondiente a los pesos de un grupo de mujeres. 14

15 Calcúlese la media geométrica: LA MEDIA ARMÓNICA Se emplea la media armónica (Mh) para obtener un valor representativo de un conjunto de datos expresados en forma de tasas, esto es, tantas unidades de un tipo por cada unidad de otra especie (Pagano, 2011). Calcúlese la media armónica para el ejemplo anterior: Entonces: 15

16 ASIMETRÍA La asimetría es un estadígrafo necesario para conocer cuánto se aproxima la distribución a una distribución teórica llamada curva normal (Pagano, 2011). El sesgo o asimetría (skewness) es la carencia de forma simétrica en la gráfica de un conjunto de datos. Si no existe asimetría o sesgo en los datos, la media es igual a la mediana y a la moda. Otra explicación se puede relacionar con el valor de la mediana, lo que implica que el 50% de los valores están por encima de la media y el 50% se encuentra por debajo, lo que implica un valor de asimetría = 0. Cuando el valor calculado para la asimetría resulta ser positivo significa que hay una mayor cantidad de datos agrupados hacia la izquierda de la curva (por debajo de la media). Mediana Moda Media Interpretando este gráfico, se deduce que: La moda es el valor que corresponde al punto más alto. La media es el mayor valor de los tres estadígrafos. 16

17 Cuando la asimetría es negativa significa que los valores tienden a agruparse hacia la derecha de la curva (por encima de la media la media es el valor más pequeño de los tres valores). Mediana Media Moda Es importante considerar que si la distribución concentra los valores hacia la derecha o hacia la izquierda, la media no sería representativa, por lo tanto, la mediana y la moda pasan a ser más representativas. CURTOSIS La curtosis mide el grado de agudeza de una distribución, esta se expresa como aparece en los gráficos a continuación. Cuando la curtosis es cero (0), significa que se trata de una curva normal, si es positiva, quiere decir que la curva o distribución es más elevada que la distribución teórica, por el contrario si es negativa, se puede decir que la curva es más plana (Pagano, 2011). Curva Leptocúrtica Curva Plalticúrtica Curva Mesocúrtica Eje Y Eje Y Eje Y Eje X Eje X Eje X El cálculo de este coeficiente, es factible a través de Microsoft Excel, pero antes se debe habilitar el complemento de análisis de datos, el cual encontrarán en el ítem de ayuda de dicha aplicación. 17

18 COMENTARIO FINAL Durante esta semana comenzamos a realizar los primeros cálculos relacionados con medidas de posición y de tendencia central, por lo tanto, ya están en condiciones de calcular en detalle las fórmulas de la media, moda, mediana, media armónica, media geométrica, además, pueden aplicar las formulas relacionadas a datos sin agrupar y para datos agrupados, se resolvieron ejercicios donde los datos se presentaron de forma no agrupados y también se resolvieron casos donde la variable se encuentra agrupada en una tabla de distribución de frecuencia. 18

19 REFERENCIAS Anderson David R., Sweeney Dennis J., Williams Thomas A. (2008). Estadística para administración y economía (10ª edición). Cencage Learning Canavos, George. (1988). Introducción y estadística descriptiva. Probabilidad y estadística. México: McGraw-Hill/Interamericana S. A. Pagano, Robert R. (2011). Estadística para las ciencias del comportamiento (9ª edición). Cencage Learning. PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE: IACC (2012). Estadística. Semana 3. 19

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