PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE FORMACIÓN PROFESIONAL JUNIO 2015


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1 CALIFICACIÓN: PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE FORMACIÓN PROFESIONAL JUNIO 201 Apellidos Nombre Centro de examen Instrucciones Generales PARTE COMÚN MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS - Duración del ejercicio: Hora y media. - Mantenga su DNI en lugar visible durante la realización de la prueba. - Realice el ejercicio en las hojas de respuestas entregadas al final de este documento y entregue este cuadernillo completo al finalizar la prueba. - Lea detenidamente los textos, cuestiones o enunciados. - Cuide la presentación y la ortografía. - Revise la prueba antes de entregarla. Criterios de calificación Esta materia de la prueba se calificará numéricamente entre 0 y 10 puntos, en función de los siguientes criterios: - El aspirante debe realizar cuatro ejercicios de los seis propuestos. - Si un aspirante realiza más de cuatro ejercicios, sólo se calificarán los cuatro primeros realizados. - Trabajar con dos decimales, redondeando en los ejercicios donde sea necesario. - Todos los ejercicios tienen una puntuación de 2 puntos, distribuidos de la siguiente manera: - Ejercicio 1.. a) 1 punto. b) 1 puntos - Ejercicio puntos. - Ejercicio puntos. - Ejercicio 4.. a) 0, puntos. b) 1 punto c) 1 punto - Ejercicio.. Cada apartado 0, puntos. - Ejercicio 6.. a) 1, puntos b) 1 punto - Se valorará el orden, la limpieza y la claridad en la presentación. - Se valorará el orden y el rigor en el planteamiento y el uso correcto del lenguaje matemático. - Se valorará la discusión de las soluciones si fuera preciso. - Se valorarán negativamente los errores conceptuales. - Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora científica no programable.

2 La nota de la parte común será la media aritmética de las calificaciones obtenidas en cada una de las materias de las que consta, siempre que se obtenga, al menos, una calificación de cuatro puntos en cada una de ellas. Esta nota media deberá ser igual o superior a cuatro puntos para que haga media con la parte específica. EJERCICIOS Ejercicio 1 En una reunión hay 60 personas entre altas, medianas y bajas. Se sabe que entre las bajas y las medianas duplican el número de altas. También se sabe que las altas y el doble de las medianas son el doble de las bajas. a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de personas altas, medianas y bajas que hay en la reunión. b) Resolver el sistema. Ejercicio 2 Al repartir cierta cantidad de dinero en partes proporcionales a la edades de los tres hermanos que tienen 1, 20 y 2 años respectivamente, le correspondió al mediano 60 más que al pequeño. Cuánto le correspondió a cada hermano? Ejercicio 3 Un barco B pide socorro y se reciben las señales en dos estaciones de radio, A y C, que distan entre si 0 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ángulos: A 46º y C 3º. A qué distancia de cada estación se encuentra el barco? Ejercicio 4 La producción en kilogramos de calabacín en un invernadero depende de la temperatura t, en grados centígrados de éste, y viene dada por la expresión, P(t) (t + 1) 2 (32 t) (suponer t > 0) a) Qué producción se obtiene si la temperatura es de 18º? 2

3 b) A qué temperatura se produce la máxima producción? Determinar la producción máxima. Hasta qué temperatura la producción aumenta?, cuánto disminuye? Ejercicio Se ha realizado una encuesta sociológica acerca de la actitud política progresista o conservadora a 334 universitarios de los que 196 son varones. Un total de 187 han manifestado ser progresistas, de los cuales 42 son mujeres. Se elige al azar un universitario. Calcular las siguientes probabilidades: a) Que sea mujer. b) Que tenga una actitud conservadora. c) Que sea varón y progresista. d) Que sea conservadora sabiendo que ha sido mujer. e) Construir la tabla de contingencia. Ejercicio 6 Dos jugadores de baloncesto A y B consiguen encestar tiros de tres puntos por partidos según la distribución siguiente: Encestes\ Partido Jugador A Jugador B a) Calcular el coeficiente de variación de cada uno de los jugadores. b) Comparar ambos, interpretando el resultado. 3

4 Ejercicio 1 SOLUCIONES En una reunión hay 60 personas entre altas, medianas y bajas. Se sabe que entre las bajas y las medianas duplican el número de altas. También se sabe que las altas y el doble de las medianas son el doble de las bajas. a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de personas altas, medianas y bajas que hay en la reunión. b) Resolver el sistema. Solución. a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de personas altas, medianas y bajas que hay en la reunión. Designamos con las siguientes letras x al número de personas altas; y al número de personas medianas; y z al número de personas pequeñas. En virtud de lo expuesto en el enunciado, las ecuaciones que describen el problema son las siguientes, hay 60 personas entre altas, medianas y bajas x + y + z 60 entre las bajas y las medianas duplican el número de altas z + y 2x las altas y el doble de las medianas son el doble de las bajas x + 2y 2z Por tanto, el sistema es, x + y + z 60 z + y 2x } x + 2y 2z x + y + z 60 2x + y + z 0 x + 2y 2z 0 } 4

5 b) Resolver el sistema. Resolvemos por el método de Gauss. x + y + z 60 2x + y + z 0 x + 2y 2z 0 } ( ) F 2F 2 +2 F 1 F 3 F 3 F 1 ( ) 60 F 3 3 F 3 F 2 ( ) 300 x + y + z 60 3y + 3z 120 } 12z 300 x + y + z 60 y + z 40 z } x + y y z 2 } x + y y z 2 } x + y 60 2 y 40 2 z 2 } x y 1 z 2 } x 20 y 1 z 2 } x 3 1 y 1 z 2 } Por tanto, habrá 20 personas altas, 1 personas medianas y 2 personas bajas.

6 Ejercicio 2 Al repartir cierta cantidad de dinero en partes proporcionales a la edades de los tres hermanos que tienen 1, 20 y 2 años respectivamente, le correspondió al mediano 60 más que al pequeño. Cuánto le correspondió a cada hermano? Solución. Puesto que entre el mediano y el pequeño hay años de diferencia y, según dice el problema, hay una diferencia de dinero de 60, entonces podemos calcular proporcionalmente de manera sencilla las cantidades que les corresponden a cada uno. Al hermano menor le corresponderán, Años Dinero 60 1 x x para el hermano con 1 años. Al hermano mediano le corresponderán Años Dinero x 20 x para el hermano con 20 años. Al hermano mayor le corresponderán, Años Dinero 60 2 x x para el hermano con 30 años. 6

7 Ejercicio 3 Un barco B pide socorro y se reciben las señales en dos estaciones de radio, A y C, que distan entre si 0 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ángulos: A 46º y C 3º. A qué distancia de cada estación se encuentra el barco? Solución. La situación descrita se puede representar mediante el siguiente dibujo. El ángulo que forman las estaciones C y A con el barco mide, 180º 3º 46º 78º Aplicamos el teorema del seno para calcular la distancia entre la estación C y el barco B, y que denotamos mediante x. sen 78º 0 sen 46º x x 0 sen 46º sen 78º km Por lo tanto, la distancia entre el barco B y la estación de radio A es km. Para calcular la distancia y entre el barco B y la estación de radio C volvemos a aplicar el teorema del seno (se podría también aplicar el teorema del coseno). sen 78º 0 sen 3º y y 0 sen 3º sen 78º km Por lo tanto, la distancia entre el barco B y la estación de radio C es km. 7

8 Ejercicio 4 La producción en kilogramos de calabacín en un invernadero depende de la temperatura t, en grados centígrados de éste, y viene dada por la expresión, P(t) (t + 1) 2 (32 t) (suponer t > 0) a) Qué producción se obtiene si la temperatura es de 18º? b) A qué temperatura se produce la máxima producción? Determinar la producción máxima. c) Hasta qué temperatura la producción aumenta?, cuánto disminuye? Solución. a) Qué producción se obtiene si la temperatura es de 18º? Sustituimos el valor t 18º en la expresión analítica de la función y obtenemos la producción a 18º. P(18) (18 + 1) 2 (32 18) kg Por lo tanto, a 18º se obtiene una producción de 04 kg. b) A qué temperatura se produce la máxima producción? Determinar la producción máxima. Calculamos el máximo de la producción acudiendo a la primera derivada de la función. P (t) 2 (t + 1) 1 (32 t) + (t + 1) 2 ( 1) (2t + 2) (32 t) t 2 2t 1 64t 2t t t 2 2t 1 3t t + 63 Igualamos a cero la primera derivada para calcular los extremos relativos de la función. 3t t t t t 20 ± ( 1) 21 2 ( 1) 20 ± ± ± t t {

9 Calculamos la segunda derivada para saber cuál de los dos valores es el máximo relativo pedido, P (t) 3t t + 63 P (t) 6t + 60 Sustituimos los valores de extremo relativo en la segunda derivada y decidimos cuál es el máximo relativo, Si t 1º, entonces Por tanto, t 1º es un mínimo relativo. Si t 21º, entonces Por tanto, t 21º es un Máximo relativo. P ( 1) 6 ( 1) > 0 P (21) 6 (21) < 0 Puesto que sólo contemplamos t > 0 entonces la función, al ser continua por ser un polinomio, va a ser decreciente a partir de t 21º. En ese caso, para t 21º tendremos la temperatura que produce la máxima producción. Esa producción máxima es, P(21) (21 + 1) 2 (32 21) kg Por lo tanto, la producción máxima es 324 kg. c) Hasta qué temperatura la producción aumenta?, cuánto disminuye? Dado el estudio efectuado sobre la primera derivada, el cálculo de los máximos y mínimos relativos de la función y, teniendo en cuenta que la función es continua, tendremos que, La función crece desde la temperatura 0º hasta la temperatura 21º. La función decrece desde la temperatura 21º en adelante. Por ello, tendremos que la producción aumenta hasta la temperatura 21º y a partir de esa temperatura disminuye. 9

10 Ejercicio Se ha realizado una encuesta sociológica acerca de la actitud política progresista o conservadora a 334 universitarios de los que 196 son varones. Un total de 187 han manifestado ser progresistas, de los cuales 42 son mujeres. Se elige al azar un universitario. Calcular las siguientes probabilidades: a) Que sea mujer. b) Que tenga una actitud conservadora. c) Que sea varón y progresista. d) Que sea conservadora sabiendo que ha sido mujer. e) Construir la tabla de contingencia. Solución. a) Que sea mujer. Puesto que hay 334 universitarios de los cuales 196 son varones, entonces hay un total de mujeres de, En ese caso, la probabilidad de que, elegida una persona al azar entre los 334 universitarios es, Casos favorables P(Ser mujer) 138 Casos posibles b) Que tenga una actitud conservadora. Puesto que hay 334 universitarios de los cuales 187 manifiestan una actitud progresista, entonces hay un total de personas con actitud conservadora de, En ese caso, la probabilidad de que, elegida una persona al azar entre los 334 universitarios, tenga actitud conservadora es, P(Tener actitud conservadora) Casos favorables Casos posibles

11 c) Que sea varón y progresista. Puesto que hay 187 manifiestan una actitud progresistas y, de ellos, 42 son mujeres, entonces hay un total de hombres con actitud progresista de, En ese caso, la probabilidad de que, elegida una persona al azar entre los 334 universitarios, sea varón y tenga actitud progresista es, P(Tener actitud conservadora) Casos favorables Casos posibles d) Que sea conservadora sabiendo que ha sido mujer. Se trata de una probabilidad condicionada. Si denotamos del siguiente modo a los sucesos, Entonces la probabilidad pedida será, C Actitud conservadora y M Ser mujer P(Actitud conservadora y ser mujer) P(T ener actitud conservadora Mujer ) P(Ser mujer) Puesto que hay 196 varones entonces hay 138 mujeres. De esas mujeres 42 son progresistas por lo que, el número de mujeres con actitud conservadora es, Por lo tanto, la probabilidad de tener actitud conservadora y ser mujer será, P(Tener actitud conservadora y ser mujer) Y la probabilidad pedida es, Casos favorables Casos posibles P(T ener actitud conservadora Mujer ) P(Actitud conservadora y ser mujer) P(Ser mujer)

12 e) Construir la tabla de contingencia. La tabla de contingencia con la que se puede resolver todo el ejercicio desde el principio es, Varón Mujer Total Actitud conservadora Actitud progresista Total Ejercicio 6 Dos jugadores de baloncesto A y B consiguen encestar tiros de tres puntos por partidos según la distribución siguiente: Encestes\ Partido Jugador A Jugador B a) Calcular el coeficiente de variación de cada uno de los jugadores. b) Comparar ambos, interpretando el resultado. Solución. a) Calcular el coeficiente de variación de cada uno de los jugadores. El coeficiente de variación viene determinado por el cociente de la desviación típica de la muestra entre la media muestral, C. V. σ X Calculamos para cada muestra su media muestral y su desviación típica. 12

13 Muestra Jugador A. X A triples σ A 2 ( x i X ) 2 N (1 4)2 + (3 4) 2 + (13 4) 2 + (2 4) 2 + (1 4) 2 ( 3)2 + ( 1) 2 + (+9) 2 + ( 2) 2 + ( 3) 2 σ A σ A Por tanto, el Coeficiente de Variación del Jugador A es, C. V. (Jugador A) σ A X A Muestra Jugador B. X B triples σ B 2 ( x i X ) 2 N (8 4)2 + (1 4) 2 + (0 4) 2 + (1 4) 2 + (10 4) 2 (+4)2 + ( 3) 2 + ( 4) 2 + ( 3) 2 + (+6) σ B σ B Por tanto, el Coeficiente de Variación del Jugador B es, C. V. (Jugador B) σ B X B b) Comparar ambos, interpretando el resultado. Puesto que C. V. (Jugador B) 1 04 y C. V. (Jugador A) 1 14, podemos decir que el Jugador B presenta menos dispersión en el tiro triple que el jugador A aún cuando ambos tienen la misma media aritmética de tiro. 13

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